Trưởng thành từ lò đào tạo NK Zagreb, Livaković đã ra mắt Giải bóng đá vô địch quốc gia Croatia khi mới 17 tuổi, chơi 23 trận ngay mùa giải đầu tiên lên chuyên nghiệp.[3] Sau bốn mùa bóng cho NK Zagreb, ngày 30 tháng 8 năm 2015, Livaković chuyển đến GNK Dinamo Zagreb.[4] Ngày 2 tháng 10 năm 2016, anh có trận ra mắt Dinamo Zagreb trong trận derby với HNK Hajduk Split và giữ sạch lưới trong trận hòa 0-0.[5]

Ngày 30 tháng 7 năm 2019, trong trận đấu tại vòng loại Champions League 2019-20 mà Dinamo Zagreb đánh bại Saburtalo Tbilisi 3-0, Livaković chính thức phá vỡ kỷ lục về số phút giữ sạch lưới kể từ đầu mùa giải của Dinamo Zagreb trước đó nắm giữ bởi Dražen Ladić từ năm 1995 với 450 phút không phải nhận bàn thua.[6]

Ngày 26 tháng 8 năm 2020, khi đối đầu CFR Cluj tại vòng loại thứ hai Champions League 2020-21, Livaković đã cản phá thành công quả phạt đền của Ciprian Deac trong giờ thi đấu chính thức. Đến loạt sút luân lưu, anh cản phá tiếp quả sút của đội trưởng Cluj Cătălin Golofca để giúp Zagreb giành chiến thắng 6–5 trên loạt sút luân lưu.[7] Sau khi để thua Ferencvárosi TC ở vòng loại thứ ba, Dinamo Zagreb chuyển xuống thi đấu tại Europa League và Livaković chỉ để thủng 1 bàn sau 6 trận vòng bảng giúp Dinamo Zagreb đứng đầu bảng K.[8][9] Thành tích bất bại tại vòng bảng của Zagreb được Livaković giữ vững với pha cản phá thành công quả phạt đền của Steven Berghuis trong trận hòa 0–0 với Feyenoord ngày 22 tháng 10 và đây cũng là pha cản phá phạt đền thành công thứ hai của anh trong vòng 4 ngày.[10] Sau đó đến trận lượt về vòng 1/8 với Tottenham Hotspur, Dinamo Zagreb đã làm nên cuộc lội ngược dòng khó tin trước đội bóng Anh với chiến thắng 3-0 trên sân nhà sau khi thua 0-2 sân khách. Livaković góp công đầu với hàng loạt pha hóa giải nỗ lực dứt điểm của Harry Kane.[3][11] Livaković sau đó có tên trong đội hình tiêu biểu của UEFA Europa League mùa giải 2020-21.[12]

Livaković có tên trong đội hình xuất sắc nhất lượt đấu vòng bảng đầu tiên của UEFA Champions League 2022-23 sau khi có một màn trình diễn xuất sắc giúp Dinamo Zagreb đánh bại Chelsea với tỉ số 1-0.[13]